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逆矩阵的性质和运算法则

来源:www.myautomobile.net 时间:2024-03-11 17:30:48 作者:老谋算法网 浏览: [手机版]

本文目录:

逆矩阵的性质和运算法则(1)

  矩阵是线性代数中的重要念,它是由若干行和若干列组成的矩形数组Xlh。矩阵的逆是指在矩阵乘法下存在一个矩阵,使得矩阵与其逆矩阵相乘得单位矩阵。逆矩阵在矩阵计算中有着重要的作用,可以用解线性程组、解特值和特向量等。本文将介绍逆矩阵的性质和运算法则

一、逆矩阵的定义

  设A是一个n阶阵,若存在一个n阶阵B,使得AB=BA=I,其中I为n阶单位矩阵,则称B为A的逆矩阵,记作A^-1老~谋~算~法~网

二、逆矩阵的存在性

  对一个n阶阵A,且仅A的行列式不为0时,A才有逆矩阵。此时,逆矩阵是唯一的。

  证明:若存在个n阶阵B和C,使得AB=BA=I,AC=CA=I,则有B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C,即逆矩阵是唯一的。

三、逆矩阵的性质

  1. 若A是一个n阶阵,则A^-1也是n阶老.谋.算.法.网

2. 若A和B都是n阶阵,且AB存在逆矩阵,则(A·B)^-1=B^-1·A^-1。

3. 若A是一个n阶阵,则(A^-1)^-1=A。

  4. 若A是一个n阶阵,k是一个非零常数,则(kA)^-1=1/k·A^-1。

证明:

  1. 据逆矩阵的定义可知,A的逆矩阵B也是一个n阶老~谋~算~法~网

2. 由逆矩阵的定义可得,AB=BA=I,因此有(A·B)·(B^-1·A^-1)=A·(B·B^-1)·A^-1=A·I·A^-1=AA^-1=I,即(A·B)^-1=B^-1·A^-1。

逆矩阵的性质和运算法则(1)

  3. 由逆矩阵的定义可得,A·A^-1=A^-1·A=I,因此有(A^-1)^-1=A。

  4. 设kA的逆矩阵为C,则有(kA)·C=C·(kA)=I,即k(AC)=(CA)k=I,因此有C=1/k·A^-1,即(kA)^-1=1/k·A^-1。

四、逆矩阵的运算法则

  1. 若A和B都是n阶阵,且AB存在逆矩阵,则(AB)^-1=B^-1·A^-1来自www.myautomobile.net

证明:由逆矩阵的定义可知,(AB)·(B^-1·A^-1)=A·(B·B^-1)·A^-1=A·I·A^-1=AA^-1=I,因此有(AB)^-1=B^-1·A^-1。

  2. 若A是一个n阶阵,且存在n阶可逆矩阵P和Q,使得A=P^-1·D·Q^-1,其中D是一个对角矩阵,则A的逆矩阵为A^-1=Q·D^-1·P^-1。

  证明:由D是一个对角矩阵,因此D^-1也是一个对角矩阵,且对角线上的素为D对角线上的素的倒数。因此有A^-1=(P^-1·D·Q^-1)^-1=Q·D^-1·P^-1Xlh

  3. 若A是一个n阶阵,且存在n阶可逆矩阵P和Q,使得A=P^-1·L·U·Q^-1,其中L是一个下三角矩阵,U是一个上三角矩阵,则A的逆矩阵为A^-1=Q·U^-1·L^-1·P^-1。

证明:由LU分解可得,A=P^-1·L·U·Q^-1=(P^-1·L)·(U·Q^-1),且L和U都是可逆矩阵,因此有(LU)^-1=U^-1·L^-1,即A^-1=Q·U^-1·L^-1·P^-1。

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