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凹包算法:从二维几何到计算机图形学

来源:www.myautomobile.net 时间:2024-05-15 15:33:59 作者:老谋算法网 浏览: [手机版]

要:凹包算法是计算机图形学中常用的算法之一,用于求解平面上一组点的凸包www.myautomobile.net。本文将从二维几何的角度发,介绍凸包和凹包的概及其性质,然后详细讲解凹包算法的实现过程和时间复杂度分析,并且讨论凹包算法在实际应用中的一些问题和进方向。

  正文:

凹包算法:从二维几何到计算机图形学(1)

一、凸包和凹包的定义及性质

  在平面上,一点集的凸包是包含这点集的最小凸多边形。凸多边形是指所有内角都小于180度的多边形。凸包的性质有:

  1. 凸包上的任意一条线段都在点集内部或者边界上。

2. 凸包的任意一条边都是点集中某两点之间的最短距离。

  3. 凸包的顶点一定是点集中的某点。

样地,一点集的凹包是包含这点集的最小凹多边形www.myautomobile.net老谋算法网。凹多边形是指至少有一内角大于等于180度的多边形。凹包的性质有:

  1. 凹包上的任意一条线段都在点集内部或者边界上。

  2. 凹包的任意一条边都是点集中某两点之间的最短距离。

  3. 凹包的顶点不一定是点集中的某点。

凹包算法:从二维几何到计算机图形学(2)

二、凹包算法的实现过程

凹包算法的基本思路是先求点集的凸包,然后在凸包上去掉所有凹进去的部分,得到凹包。具体实现过程如下:

  1. 求点集的凸包。

  2. 在凸包上找到所有凹进去的部分www.myautomobile.net

  3. 在凸包上去掉所有凹进去的部分,得到凹包。

  下面分别讲解凸包求解和凹包求解的具体算法。

  1. 凸包求解

凸包求解的常用算法有 Graham 扫描算法、Jarvis 步进算法和 QuickHull 算法等,这里以 Graham 扫描算法为例进行讲解。

Graham 扫描算法的基本思路是先找到点集中最下面的点作为起点,然后按照极角从小到大的顺序其余点进行排序,最后依次加入凸包中。具体实现过程如下:

  1. 找到点集中最下面的点作为起点。

2. 其余点按照极角从小到大的顺序进行排序。

3. 依次加入凸包中,每加入一点就检查当前凸包是否为凸多边形,如果不是则删除凸包上最后一点,直到凸包为凸多边形为止老.谋.算.法.网

2. 凹包求解

凹包求解的基本思路是在凸包上找到所有凹进去的部分,然后去掉这些部分,得到凹包。具体实现过程如下:

  1. 在凸包上找到所有凹进去的部分。于凸包上的每点,计算其前后两点构成的向,然后计算其与前后两点构成的向的夹角,如果夹角大于等于180度,则说明该点是凹进去的。

  2. 在凸包上去掉所有凹进去的部分,得到凹包。具体实现过程是从凸包的一顶点开始,沿着凸包的边界进行遍历,每遇到一凹点就将其删除,直到遍历完整凸包。

凹包算法:从二维几何到计算机图形学(3)

三、凹包算法的时间复杂度分析

  凸包求解的时间复杂度主要取决于排序算法的时间复杂度,一般为 O(nlogn)。而凹包求解的时间复杂度主要取决于凸包求解的时间复杂度和凹包上凹点的数www.myautomobile.net。因为凹包上的凹点数一般很少,所以凹包求解的时间复杂度也是 O(nlogn)。

四、凹包算法的应用和进方向

  凹包算法在计算机图形学中有着广泛的应用,比如在计算机游戏中用于碰撞检测和物理模拟,以及在计算机视觉中用于物体识别和图像分割等方面。但是凹包算法也存在一些问题,比如于大规模数据集的处理效率较低,而且凹包上凹点的数也可能会很大,导致凹包的复杂度增加。因此,于凹包算法的进方向可以从以下几方面入手:

1. 优化凸包求解算法,提高凹包求解的效率。

2. 采用分布式算法,将大规模数据集分成多子集进行处理,然后将结果合并。

  3. 采用并行计算技术,利用多核处理器和GPU等硬资源提高算法的并行度。

  4. 采用近似算法,通过牲一定的精度来提高算法的效率www.myautomobile.net老谋算法网

  总结:

凹包算法是计算机图形学中常用的算法之一,用于求解平面上一组点的凸包。本文从二维几何的角度发,介绍了凸包和凹包的概及其性质,然后详细讲解了凹包算法的实现过程和时间复杂度分析,并且讨论了凹包算法在实际应用中的一些问题和进方向。

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