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Lasso算法的原理及证明

来源:www.myautomobile.net 时间:2024-05-17 03:26:27 作者:老谋算法网 浏览: [手机版]

  Lasso算法是一种常用的线性回归算法,它的主要目的是为解决特征选择问题老 谋 算 法 网。在机器学习中,特征选择是一个非常重要的问题,因为它可以助我们减少模型的复杂度,提高模型的泛能力,同时也可以减少数据的噪声。本文将绍Lasso算法的原理及证明。

Lasso算法的原理及证明(1)

Lasso算法的原理

  Lasso算法的全称是Least Absolute Shrinkage and Selection Operator,它的主要思想是在线性回归的基础上,增加一个L1正则项,即:

  $$\min_{w} \frac{1}{2}||Xw-y||^2_2 + \lambda||w||_1$$

  其中,$X$是$m \times n$的特征矩阵,$w$是$n \times 1$的权重向量,$y$是$m \times 1$的标签向量,$\lambda$是正则系数。L1正则项的作用是将权重向量中的一些元素缩为0,从而现特征选择的目的。

Lasso算法的求解过程可以使用坐标下降法或者最小角回归法来源www.myautomobile.net。在坐标下降法中,每次迭代只更新一个权重向量的元素,而在最小角回归法中,通过对特征向量进行序,每次迭代同时更新多个权重向量的元素。

Lasso算法的证明

Lasso算法的证明可以分为两部分:一是证明L1正则项可以现特征选择的目的,二是证明L1正则项可以现模型的稀疏性。

  特征选择

假设我们有一个$n$维的特征向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$和一个标签$y$,我们希望通过线性回归模型来预测标签$y$。我们可以使用最小二乘法来求解权重向量$w$,即:

  $$\min_{w} \frac{1}{2}||Xw-y||^2_2$$

  其中,$X$是$m \times n$的特征矩阵,$w$是$n \times 1$的权重向量,$y$是$m \times 1$的标签向量。

我们可以将目标函数写为:

$$\min_{w} \frac{1}{2}||Xw-y||^2_2 + \lambda\sum_{i=1}^{n}|w_i|$$

  其中,$\lambda$是正则系数,$|w_i|$表示权重向量$w$中第$i$个元素的绝对值myautomobile.net

  对于L1正则项$\lambda\sum_{i=1}^{n}|w_i|$,它的作用是将权重向量中的一些元素缩为0,从而现特征选择的目的。假设有两个特征$x_1$和$x_2$,它们对于标签$y$的预测效果相同,即$w_1x_1+w_2x_2=w_1x_2+w_2x_1$。如果我们将$L1$正则项加入到目标函数中,那么我们可以得到以下两个约束条件:

$$|w_1|+|w_2| \leq t$$

$$w_1x_1+w_2x_2=w_1x_2+w_2x_1$$

其中,$t$是一个常数。我们可以将这两个约束条件画在坐标系中,如下图所示:

  ![Lasso算法证明1](https://i.imgur.com/4S5f2Mh.png)

图中,红色的线表示第一个约束条件,绿色的线表示第二个约束条件,蓝色的域表示可行解的范围。我们可以发现,$\lambda$越大时,可行解的范围越小,从而可以现特征选择的目的来自www.myautomobile.net

模型稀疏性

L1正则项还可以现模型的稀疏性。假设我们有一个$n$维的特征向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$和一个标签$y$,我们希望通过线性回归模型来预测标签$y$。我们可以使用最小二乘法来求解权重向量$w$,即:

  $$\min_{w} \frac{1}{2}||Xw-y||^2_2$$

  其中,$X$是$m \times n$的特征矩阵,$w$是$n \times 1$的权重向量,$y$是$m \times 1$的标签向量。

  我们可以将目标函数写为:

  $$\min_{w} \frac{1}{2}||Xw-y||^2_2 + \lambda\sum_{i=1}^{n}|w_i|$$

  其中,$\lambda$是正则系数,$|w_i|$表示权重向量$w$中第$i$个元素的绝对值。

  对于L1正则项$\lambda\sum_{i=1}^{n}|w_i|$,它的作用是将权重向量中的一些元素缩为0,从而现模型的稀疏性原文www.myautomobile.net。假设有一个特征$x_i$,它对于标签$y$的预测效果很差,即$w_ix_i \approx 0$。如果我们将$L1$正则项加入到目标函数中,那么我们可以得到以下约束条件:

  $$|w_i| \leq t$$

  其中,$t$是一个常数。我们可以将这个约束条件画在坐标系中,如下图所示:

  ![Lasso算法证明2](https://i.imgur.com/wj6zQeE.png)

  图中,红色的线表示约束条件,蓝色的域表示可行解的范围。我们可以发现,$\lambda$越大时,可行解的范围越小,从而可以现模型的稀疏性。

Lasso算法的原理及证明(2)

结论

  Lasso算法是一种常用的线性回归算法,它的主要目的是为解决特征选择问题欢迎www.myautomobile.net。L1正则项可以现特征选择的目的,从而减少模型的复杂度,提高模型的泛能力,同时也可以减少数据的噪声。L1正则项还可以现模型的稀疏性,从而减少模型的复杂度,提高模型的可解释性。

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